SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A.  Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Bentuk umum dari persamaan linear dua variabel sebagai berikut;

ax + by = c

di mana;

a = koefisien variabel x

b = koefisien variabel y

c = konstanta

Dengan a, b, c, adalah bilangan real.

A.  Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu, apabila di gambar dalam sebuah grafik akan membentuk garis lurus. Ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut;

1. Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
2. Memiliki dua variabel
3. Kedua variabel tersebut memiliki derajar satu (berpangkat satu)

      Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel;

                                                            a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

      Dengan a₁, b₁, a₁, b₂,  a₃, b₃ adalah koefisien. x, y dan z adalah variabel dan d₁, d₂, 

      dan d₃ adalah konstanta

B.  Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Dalam penyelesaiannya sistem persamaan linear dua variabel terdapat beberapa metode sebagai berikut;

1.  Metode Substitusi

Metode susbtitusi merupakan salah satu metode untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel. Untuk menentukan penyelesaian tersebut, kita harus menyatakan suatu variabel ke dalam variabel lain kemudian nilai dari variabel tersebut disubstitusikan ke variabel yang sama pada persamaan lainnya. Pada dasarnya, langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi sebagai berikut;

a)    Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabelnya ke dalam bentuk variabel lainnya.

b)   Substitusikan variabel pada langkah pertama ke persamaan lainnya, sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel.

c)    Tentukan nilai dari variabel lainnya dengan menyubstitusikan nilai yang diperoleh pada langkah b ke langkah a

d)   Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dan jawablah pertanyaan yang diberikan pada soal.

 Contoh

Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear berikut dg metode substitusi;

2x – y = 2

3x – 2y = 1

Alternatif penyelesaian

Misal

2x – y = 2   ………….. (i)

3x – 2y = 1 …………… (ii)

Pilih persamaan linear ke (i). nyatakan variabel y ke bentuk variabel x

      2x – y = 2

ó          y = 2x – 2

Substitusikan y = 2x – 2 pada persamaan ke-(ii)

                3x – 2y = 1

ó  3x – 2(2x – 2) = 1

ó      3x – 4x + 4 = 1

ó           -x + 4    = 1

ó                     x = 3

Substitusikan x = 3 pada y = 2x – 2 sehingga

y = 2(2) – 2 = 4 – 2 = 2

      jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut 

      adalah {3,2}

1.  Metode Eliminasi

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode eliminasi dapat dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu peubah sehingga dihasilkan persamaan linear satu variabel dan dapat ditentukan nilai peubahnya. Prinsip metode eliminasi, yaitu mengeliminasi peubah y untuk mendapatkan nilai peubah x atau sebaliknya.  Langkah-langkah metode eliminasi sebagai berikut;

a)    Samakan bilangan koefisien pada peubah x dari masing-masing persamaan.

b)   Eliminasikan peubah x sehingga akan dihasilkan peubah y

c)    Samakan bilangan koefisien pada peubah y pada masing-masing persamaan.

d)   Eliminasikan peubah y, sehingga akan dihasilkan peubah x.

        Contoh

       Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear berikut dg 

        metode eliminasi !

2x + 3y = 1

3x + y = 5

        Alternatif Penyelesaian

        Misal

        2x + 3y = 1 ……………….. (i)

        3x + y = 5   ……………….. (ii)

       Eliminasi variabel y untuk mendapat nilai variabel x;

        2x + 3y = 1         x 1  

        3x +   y = 5        x 3  

            2x + 3y = 1    

            9x + 5y = 15  -                                        

                  -7x = -14

                     x = 2

eliminasi variabel x untuk mendapat nilai variabel y;

         2x + 3y = 1    x 3   

         3x +   y = 5   x 2        

                    6x + 9y = 3    

                    6x + 2y = 10   -                                    

                           7y  = 7

                             y  = 1

      jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut 

      adalah {2,1}

 

2.  Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

Metode gabungan merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menggunakan dua metode sekaligus, yaitu metode eliminasi dan metode substitusi. Pertama, menggunakan metode eliminasi untuk mencari salah satu nilai variabelnya. Setelah nilai variabel didapatkan maka nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk mendapatkan variabel yang lainnya.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan metode gabungan;

3x + 4y = 11

x + 7y = 15

alternatif penyelesaian

misal

3x + 4y = 11   ……………….. (i)

x + 7y = 15     ……………….. (ii)

eliminasi variabel x pada persamaan linear ke-(i) dan persamaan ke- (ii)

3x + 4y = 11   x 1    

x + 7y = 15    x 3    

                         3x +  4y = 11

                         3x +21y = 45  -                                        

                               -17y = -34

                                    y = 2

substitusikan y = 2 pada persamaan ke-(ii)

       x + 7y = 15

ó x + 7(2) = 15

ó   x + 14  = 15

ó           x = 1

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah {1, 2}